微分法と積分法の問題

1. 極限を微分係数で表す

$$\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=3\cdot \frac{f(2+3h)-f(2)}{3h}+\frac{f(2-h)-f(2)}{-h}$$
と変形する。$h\to 0$ のとき $3h\to 0$、$-h\to 0$ であるから、微分係数の定義より
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=3f^{\prime }(2)+f^{\prime }(2)=4f^{\prime }(2)$$
となる。条件より $4f^{\prime }(2)=24$、すなわち $f^{\prime }(2)=6$ である。

**2. $f(x)$ の次数を決める**

$f(x)$ の次数を $n$、最高次の係数を $a(a\ne 0)$ とする。

• $n\ge 3$ のとき：$f^{\prime }(x)$ は $n-1$ 次で、最高次の係数は $na$ である。よって左辺 $\{f^{\prime }(x){\}}^2$ は $2n-2$ 次で、最高次の係数は $n^2{a}^2\ne 0$ である。右辺 $4f(x)+12$ は $n$ 次である。$n\ge 3$ では $2n-2>n$ なので、両辺の次数が一致せず矛盾する。
• $n=1$ のとき：$f(x)=bx+c(b\ne 0)$ とおくと $b^2=4bx+4c+12$ となる。$x$ の係数を比べると $4b=0$ となり、$b\ne 0$ に矛盾する。
• $f(x)$ が定数 $c$ のとき：$f^{\prime }(x)=0$ であるから、極限は $4f^{\prime }(2)=0$ となり、$24$ に一致しない。よって不適である。

したがって $n=2$ である。

3. 係数を決める

$f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ とおくと、$f^{\prime }(x)=2ax+b$ である。条件の左辺と右辺はそれぞれ
$$\{f^{\prime }(x){\}}^2=4a^2{x}^2+4abx+b^2$$
$$4f(x)+12=4a{x}^2+4bx+4c+12$$
となる。これが $x$ についての恒等式であるから、係数を比較して
$$4a^2=4a,4ab=4b,b^2=4c+12$$
を得る。$a\ne 0$ より $a=1$ である。このとき第 2 式は常に成り立つ。第 3 式より $c=\frac{b^2-12}{4}$ である。

さらに $f^{\prime }(2)=4a+b=4+b=6$ より $b=2$ となり、$c=\frac{4-12}{4}=-2$ である。

4. 確認

$f(x)=x^2+2x-2$ のとき $f^{\prime }(x)=2x+2$ であり、
$$\{f^{\prime }(x){\}}^2=4x^2+8x+4$$
$$4f(x)+12=4x^2+8x-8+12=4x^2+8x+4$$
となって両者は一致する。また $f^{\prime }(2)=6$ より、極限の値は $4\cdot 6=24$ となり条件を満たす。

よって
$$f(x)=x^2+2x-2$$

$f(x)$ は整式なので、次数を $n$ とおく。

【次数の決定】$n\ge 1$ のとき、$\{f^{\prime }(x){\}}^2$ の次数は $2(n-1)$、$4f(x)+12$ の次数は $n$ である。$2(n-1)=n$ より $n=2$。
$n=0$ のとき $f(x)=c$ で、$0=4c+12$ より $c=-3$ となる。しかしこのとき条件の極限は $0$ となり、$24$ にならないので不適。

【係数の決定】$f(x)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$) とおくと $f^{\prime }(x)=2ax+b$。
$(2ax+b{)}^2=4a^2{x}^2+4abx+b^2$、$4f+12=4a{x}^2+4bx+4c+12$。
係数を比べると
- $4a^2=4a$ より $a=1$
- $4ab=4b$ は $a=1$ なら常に成り立つ
- $b^2=4c+12$ より $c=\frac{b^2-12}{4}$

【極限の条件】
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left\{3\cdot \frac{f(2+3h)-f(2)}{3h}+\frac{f(2-h)-f(2)}{-h}\right\}=3f^{\prime }(2)+f^{\prime }(2)=4f^{\prime }(2)$。
これが $24$ なので $f^{\prime }(2)=6$。$f^{\prime }(2)=4+b$ より $b=2$。よって $c=\frac{4-12}{4}=-2$。

【検算】$f(x)=x^2+2x-2$ のとき $f^{\prime }(x)=2x+2$。
$\{f^{\prime }(x){\}}^2=4x^2+8x+4$、$4f(x)+12=4x^2+8x-8+12=4x^2+8x+4$ で一致する。
$f^{\prime }(2)=6$ より $4f^{\prime }(2)=24$ で、極限の条件も満たす。

よって $f(x)=x^2+2x-2$。