微分法と積分法の問題

$x$ は積分変数 $t$ と無関係なので、積分の外に出せます。
$${\int }_0^1(x+t)f(t)dt=x{\int }_0^{1}f(t)dt+{\int }_0^{1}tf(t)dt$$
ここで
$$A={\int }_0^{1}f(t)dt,B={\int }_0^{1}tf(t)dt$$
とおきます。$A,B$ は定数なので
$$f(x)=x^2+Ax+B$$
と表せます。

**$A$ の条件**
$$A={\int }_0^1(t^2+At+B)dt={\left[\frac{t^3}{3}+\frac{A}{2}{t}^2+Bt\right]}_0^1=\frac{1}{3}+\frac{A}{2}+B$$
よって
$$\frac{A}{2}-B=\frac{1}{3}\cdots (1)$$

**$B$ の条件**
$$B={\int }_0^1(t^3+A{t}^2+Bt)dt={\left[\frac{t^4}{4}+\frac{A}{3}{t}^3+\frac{B}{2}{t}^2\right]}_0^1=\frac{1}{4}+\frac{A}{3}+\frac{B}{2}$$
よって $\frac{B}{2}-\frac{A}{3}=\frac{1}{4}$ です。両辺を $12$ 倍すると
$$6B-4A=3\cdots (2)$$

連立方程式を解く
$(1)$ より $B=\frac{A}{2}-\frac{1}{3}$ です。これを $(2)$ に代入すると
$$6\left(\frac{A}{2}-\frac{1}{3}\right)-4A=3$$
$$3A-2-4A=3$$
となり、$A=-5$ です。このとき
$$B=-\frac{5}{2}-\frac{1}{3}=-\frac{17}{6}$$

検算
$f(t)=t^2-5t-\frac{17}{6}$ として確かめます。
- ${\int }_0^{1}f(t)dt=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}-\frac{17}{6}=\frac{2-15-17}{6}=-5$ となり、$A$ と一致します。
- ${\int }_0^{1}tf(t)dt=\frac{1}{4}-\frac{5}{3}-\frac{17}{12}=\frac{3-20-17}{12}=-\frac{17}{6}$ となり、$B$ と一致します。

したがって
$$f(x)=x^2-5x-\frac{17}{6}$$

$a={\int }_0^{1}f(t)dt,b={\int }_0^{1}tf(t)dt$ とおくと、$f(x)=x^2+ax+b$ と書ける。

$a={\int }_0^1(t^2+at+b)dt=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}+b$ より $a-2b=\frac{2}{3}$ …①

$b={\int }_0^1(t^3+a{t}^2+bt)dt=\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$ より、両辺に 12 をかけて整理すると $6b-4a=3$ …②

①より $a=2b+\frac{2}{3}$。これを②に代入すると $6b-4a=6b-8b-\frac{8}{3}=3$ となり、$-2b=\frac{17}{3}$ より $b=-\frac{17}{6}$。このとき $a=-\frac{17}{3}+\frac{2}{3}=-5$。

検算：$f(x)=x^2-5x-\frac{17}{6}$ に対し、
${\int }_0^{1}f=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}-\frac{17}{6}=-5=a$ ✓、
${\int }_0^{1}tf=\frac{1}{4}-\frac{5}{3}-\frac{17}{12}=-\frac{34}{12}=-\frac{17}{6}=b$ ✓。

よって $f(x)=x^2-5x-\frac{17}{6}$。