微分法と積分法の問題

$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ なので、符号は次のようになる。

• $0\le x\le 1$ のとき $x^2-3x+2\ge 0$
• $1\le x\le 2$ のとき $x^2-3x+2\le 0$
• $2\le x\le 3$ のとき $x^2-3x+2\ge 0$

したがって
$${\int }_0^3|x^2-3x+2|dx={\int }_0^1(x^2-3x+2)dx-{\int }_1^2(x^2-3x+2)dx+{\int }_2^3(x^2-3x+2)dx$$
となる。

$F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+2x$ とおくと、$F^{\prime }(x)=x^2-3x+2$ である。各点での値を求める。

• $F(0)=0$
• $F(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}$
• $F(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$
• $F(3)=9-\frac{27}{2}+6=\frac{3}{2}$

よって各区間の積分は次のとおり。

• ${\int }_0^1(x^2-3x+2)dx=F(1)-F(0)=\frac{5}{6}$
• ${\int }_1^2(x^2-3x+2)dx=F(2)-F(1)=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$
• ${\int }_2^3(x^2-3x+2)dx=F(3)-F(2)=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$

以上より
$${\int }_0^3|x^2-3x+2|dx=\frac{5}{6}-\left(-\frac{1}{6}\right)+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}$$

$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ なので、$0\le x\le 1$ と $2\le x\le 3$ では $x^2-3x+2\ge 0$、$1\le x\le 2$ では $x^2-3x+2\le 0$ である。
原始関数を $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x$ とおくと、
$F(0)=0$、$F(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}$、$F(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$、$F(3)=9-\frac{27}{2}+6=\frac{3}{2}$。
よって
$${\int }_0^3|x^2-3x+2|dx=\{F(1)-F(0)\}-\{F(2)-F(1)\}+\{F(3)-F(2)\}$$
$$=\frac{5}{6}-\left(-\frac{1}{6}\right)+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}.$$
検算：各区間の面積は $[0,1]$ で $\frac{5}{6}$、$[1,2]$ で $\frac{1}{6}$（放物線と x 軸で囲まれる面積 $\frac{1}{6}(2-1{)}^3=\frac{1}{6}$ と一致）、$[2,3]$ で $\frac{5}{6}$。合計は $\frac{11}{6}$。