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数列

扱うテーマ: 等差数列・等比数列の一般項と和、Σ記号と和の計算、階差数列、漸化式（a_{n+1}=pa_n+q 型、階差型など）、群数列、数学的帰納法で示せる関係の具体的な値

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
正の偶数を小さい順に並べ、第 $n$ 群が $2 n - 1$ 個の項を含むように次のように群に分ける。（式）ただし $n$ は正の整数とする。 $2000$ を含む群に属するすべての…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。 $S_{5} = 35$ , $S_{10} = 120$ である。また、等比数列 ${b_{n}}$ の…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
次のように、分母が $2, 3, 4, \dots$ の分数を順に並べた数列を考える。分母が $k$ $(k = 2, 3, 4, \dots)$ の分数としては、分子が …
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）で始まる。 ${a_{n}}$ の階差数列を ${b_{n}}$ （ $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ）とし、さらに ${b_{n}}$ の階差数…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。初項から第 $n$ 項までの和 $k = 1 \sum n a_{k}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。和 $k = 1 \sum 30 a_{k}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
公比が実数である等比数列 ${a_{n}}$ が（式）を満たしている。初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とするとき、 $S_{n} ≧ 2000$ となる最小の正…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。和（式）の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての正の整数 $n$ に対して（式）が成り立つとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を満たす。 $a_{10}$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$n$ を正の整数とする。和 $k = 1 \sum n k (k + 1)$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が（式）を満たすとき、和（式）の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 3$ を満たし、公差は $0$ でない。また、 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ はこの順に等比数列をなす。さらに、初項が $a_{1}$ 、…
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は、次のように群に分けたとき、第 $m$ 群 $(m = 1, 2, 3, \dots)$ が $1$ から $2 m - 1$ までの奇数を小さい順に並べた $m$ …
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が（式）で与えられている。 $n$ を正の整数とするとき、和（式）を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。このとき、（式）の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。 $a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ の最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。 $n$ を正の整数とするとき、初項から第 $n$ 項までの和 $k = 1 \sum n a_{k}$ を…
難易度 3（共通テストレベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 7$ , $a_{7} = 19$ を満たす。また、等比数列 ${b_{n}}$ は公比が正の実数であり、 $b_{1} = 2$ , …
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。 $a_{n} < \frac{51}{100}$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
公比が $1$ より大きい実数である等比数列 ${b_{n}}$ が（式）を満たしている。また、等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = b_{1}$ , $a_{5} = b_{3}$ を満…
難易度 3（共通テストレベル）
数列を、第 $n$ 群 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ が $n$ 個の項 $n, 2 n, 3 n, \dots, n \cdot n$ からなるように、次のように群に…
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 3$ , $a_{2} = 4$ を満たす。数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての正の整数 $n$ に対して（式）が成り立つとき、 $S_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
すべての項が正の実数である数列 ${a_{n}}$ があり、 $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とおくと、すべての正の整数 $n$ に対して …
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
正の整数 $k$ に対して、 $2^{m} ≦ k < 2^{m + 1}$ を満たす $0$ 以上の整数 $m$ を $f (k)$ と表す。例えば $f (1) = 0$ , …
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 8$ , $a_{7} = 20$ を満たす。また、等比数列 ${b_{n}}$ の公比は $1$ より大きい実数であり、 $b_{2} = 4$ , …
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列（式）は、 $n$ を正の整数として、第 $n$ 群が $n$ 個の項（式）をこの順に並べたものになるように、第 $1$ 群から順に項を並べたものである。この数列において…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x$ に対して、 $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。 $n$ を正の整数とするとき、和（式）を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ を次のように群に分ける。（式）ここで、 $m$ を正の整数とするとき、第 $m$ 群は $m$ から $2 m - 1$ までの連続する $m$ 個の整数を小…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ は（式）を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x$ に対し、 $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。 $n$ を正の整数とするとき、和（式）を $n$ の式で表せ。