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数列の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学B 数列

公比が実数である等比数列 ${a_{n}}$ が
$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7, a_{4} + a_{5} + a_{6} = 56$
を満たしている。初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とするとき、 $S_{n} ≧ 2000$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

初項を $a$ 、公比を $r$ とおき、2つの条件式を $a$ と $r$ で表してみましょう。

ヒント 2

$a_{4} + a_{5} + a_{6}$ は $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ の $r^{3}$ 倍になっています。これから $r$ が求まります。 $r$ が実数であることに注意しましょう。

ヒント 3

$r = 2$ , $a = 1$ が求まるので、 $S_{n} = 2^{n} - 1$ となります。あとは $2^{n} ≧ 2001$ を満たす最小の $n$ を調べます。

答えと解説

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解説を読む

初項を $a$ 、公比を $r$ （ $r$ は実数）とすると、 $a_{n} = a r^{n - 1}$ である。

$a_{4} = a r^{3} = a_{1} r^{3}$ , $a_{5} = a_{2} r^{3}$ , $a_{6} = a_{3} r^{3}$ なので
$a_{4} + a_{5} + a_{6} = r^{3} (a_{1} + a_{2} + a_{3})$
が成り立つ。条件より $56 = 7 r^{3}$ 、すなわち $r^{3} = 8$ である。

$r^{3} - 8 = (r - 2) (r^{2} + 2 r + 4) = 0$ であり、 $r^{2} + 2 r + 4 = (r + 1)^{2} + 3 > 0$ なので、実数 $r$ は $r = 2$ だけである。

次に $a_{1} + a_{2} + a_{3} = a (1 + r + r^{2}) = a (1 + 2 + 4) = 7 a = 7$ より $a = 1$ 。

よって $a_{n} = 2^{n - 1}$ であり、
$S_{n} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2^{n} - 1$
となる。

$S_{n} ≧ 2000$ は $2^{n} - 1 ≧ 2000$ 、すなわち $2^{n} ≧ 2001$ と同値である。

$2^{10} = 1024 < 2001$ , $2^{11} = 2048 ≧ 2001$ であり、 $2^{n}$ は $n$ について単調に増加するから、条件を満たす最小の正の整数は $n = 11$ である。

別解

初項を $a$ 、公比を $r$ （実数）とする。 $a_{4} + a_{5} + a_{6} = r^{3} (a_{1} + a_{2} + a_{3})$ より $56 = 7 r^{3}$ なので $r^{3} = 8$ 。 $r$ は実数だから $r = 2$ 。

$a (1 + 2 + 4) = 7$ より $a = 1$ 。よって $a_{n} = 2^{n - 1}$ 、 $S_{n} = 2^{n} - 1$ 。

$S_{n} ≧ 2000$ より $2^{n} ≧ 2001$ 。 $2^{10} = 1024$ 、 $2^{11} = 2048$ なので、最小の $n$ は $11$ 。

検算： $S_{10} = 1023 < 2000$ 、 $S_{11} = 2047 ≧ 2000$ 。また $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 + 2 + 4 = 7$ 、 $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 8 + 16 + 32 = 56$ で条件を満たす。

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