数列の問題

**1. $\{a_n\}$ の一般項を求める**

$\{a_n\}$ の初項を $a$、公差を $d$ とすると、等差数列の和の公式より
$$S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$$
である。

$S_5=35$ より
$$\frac{5(2a+4d)}{2}=35⟹a+2d=7\cdots (1)$$

$S_{10}=120$ より
$$\frac{10(2a+9d)}{2}=120⟹2a+9d=24\cdots (2)$$

式 (2) から式 (1) の 2 倍を引くと $5d=10$ となるので、$d=2$ である。式 (1) に代入すると $a=3$ を得る。

よって
$$a_n=3+(n-1)\cdot 2=2n+1$$

**2. $\{b_n\}$ の一般項を求める**

$b_1=a_1=3$ であり、$b_3=a_{13}=2\cdot 13+1=27$ である。

公比を $r$ $(r>0)$ とすると $b_3=3r^2=27$ より $r^2=9$ となる。$r>0$ なので $r=3$ である。

よって
$$b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n$$

3. 和を計算する

$\{a_n\}$ の和は
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n(2k+1)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n=n^2+2n$$

$\{b_n\}$ の和は、初項 $3$、公比 $3$ の等比数列の和だから
$$\sum _{k=1}^n{b}_k=\frac{3(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}$$

したがって
$$\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=n^2+2n+\frac{3^{n+1}-3}{2}$$

4. 検算

• $n=1$ のとき：$a_1+b_1=3+3=6$ であり、式の値は $1+2+3=6$ で一致する。
• $n=2$ のとき：$(3+3)+(5+9)=20$ であり、式の値は $4+4+12=20$ で一致する。

等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とする。$S_5=5a+10d=35$ より $a+2d=7$。$S_{10}=10a+45d=120$ より $2a+9d=24$。$a=7-2d$ を代入すると $14-4d+9d=24$ なので $d=2$、$a=3$。よって $a_n=2n+1$ であり、$a_{13}=27$。
等比数列の公比を $r>0$ とする。$b_1=3$、$b_3=3r^2=27$ より $r^2=9$、$r=3$。よって $b_n=3^n$。
和は
$\sum a_k=n(3+2n+1)/2=n^2+2n$、
$\sum b_k=3(3^n-1)/(3-1)=(3^{n+1}-3)/2$。
したがって ${\sum }_{k=1}^n(a_k+b_k)=n^2+2n+\frac{3^{n+1}-3}{2}$。
検算：$n=1$ のとき $a_1+b_1=3+3=6$。式に代入すると $1+2+(9-3)/2=6$ で一致する。$n=2$ のとき $a_2+b_2=5+9=14$ なので合計は $6+14=20$。式では $4+4+(27-3)/2=20$ で一致する。