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数列の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学B 数列

等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 8$ , $a_{7} = 20$ を満たす。また、等比数列 ${b_{n}}$ の公比は $1$ より大きい実数であり、 $b_{2} = 4$ , $b_{1} + b_{3} = 10$ を満たす。

$m$ を正の整数とする。 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{2 m}$ の $2 m$ 個の項のうち、数列 ${a_{n}}$ の項として現れないものすべての和を $m$ の式で表せ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず与えられた条件から $a_{n}$ と $b_{n}$ の一般項を求め、 $b_{k}$ が ${a_{n}}$ の項になるのはどのような $k$ のときかを調べましょう。

ヒント 2

$a_{n} = 3 n - 1$ なので、ある数が ${a_{n}}$ の項であることは「 $3$ で割ると $2$ 余る正の整数であること」と同じです。 $2 \equiv - 1 (mod 3)$ を使って $2^{k}$ を $3$ で割った余りを考えましょう。

ヒント 3

$a_{n} = 3 n - 1$ 、 $b_{n} = 2^{n}$ です。 $2^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 3)$ より、 $k$ が奇数なら $b_{k}$ は ${a_{n}}$ の項、 $k$ が偶数なら項ではありません。したがって、 $4^{j} (j = 1, \dots, m)$ の和を計算すればよいことになります。

答えと解説

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\frac{4 ^{m + 1} - 4}{3}

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解説を読む

**数列 ${a_{n}}$ の一般項**

初項を $a_{1}$ 、公差を $d$ とすると
$a_{1} + 2 d = 8, a_{1} + 6 d = 20$
である。辺々引くと $4 d = 12$ より $d = 3$ となり、 $a_{1} = 2$ である。よって
$a_{n} = 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 1.$

**数列 ${b_{n}}$ の一般項**

初項を $b_{1}$ 、公比を $r (r > 1)$ とすると
$b_{1} r = 4, b_{1} (1 + r^{2}) = 10$
である。 $b_{1} \neq = 0$ なので、第 2 式を第 1 式で割ると
$\frac{1 + r ^{2}}{r} = \frac{5}{2}$
より $2 r^{2} - 5 r + 2 = 0$ 、すなわち $(2 r - 1) (r - 2) = 0$ となる。 $r > 1$ より $r = 2$ であり、 $b_{1} = 2$ である。よって
$b_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} .$

** $b_{k}$ が ${a_{n}}$ の項になる条件**

正の整数 $k$ に対し、 $b_{k} = 2^{k}$ が ${a_{n}}$ の項であるとは、ある正の整数 $l$ について $2^{k} = 3 l - 1$ となることである。これは $2^{k} + 1$ が $3$ で割り切れることと同値である。実際、 $2^{k} + 1$ が $3$ の倍数ならば $l = \frac{2 ^{k} + 1}{3}$ は正の整数になる。

$2 \equiv - 1 (mod 3)$ より $2^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 3)$ である。
- $k$ が奇数のとき、 $2^{k} \equiv - 1$ より $2^{k} + 1 \equiv 0 (mod 3)$ となるので、 $b_{k}$ は ${a_{n}}$ の項である。
- $k$ が偶数のとき、 $2^{k} \equiv 1$ より $2^{k} + 1 \equiv 2 (mod 3)$ となるので、 $b_{k}$ は ${a_{n}}$ の項ではない。

和の計算

$b_{1}, \dots, b_{2 m}$ のうち ${a_{n}}$ の項でないものは $k = 2, 4, \dots, 2 m$ のときの
$b_{2 j} = 2^{2 j} = 4^{j} (j = 1, 2, \dots, m)$
である。これは初項 $4$ 、公比 $4$ の等比数列の初項から第 $m$ 項までなので、求める和は
$j = 1 \sum m 4^{j} = \frac{4 ( 4 ^{m} - 1 )}{4 - 1} = \frac{4 ^{m + 1} - 4}{3} .$

別解

等差数列 ${a_{n}}$ の公差を $d$ とすると、 $a_{7} - a_{3} = 4 d = 12$ より $d = 3$ である。 $a_{1} = a_{3} - 2 d = 2$ なので、 $a_{n} = 3 n - 1$ となる。したがって ${a_{n}}$ の項は、 $3$ で割って $2$ 余る正の整数すべてである。

等比数列 ${b_{n}}$ の公比を $r$ とすると、 $b_{1} = \frac{4}{r}$ 、 $b_{3} = 4 r$ である。 $b_{1} + b_{3} = 10$ より $\frac{4}{r} + 4 r = 10$ となり、 $2 r^{2} - 5 r + 2 = 0$ 、すなわち $(2 r - 1) (r - 2) = 0$ である。 $r > 1$ より $r = 2$ となる。よって $b_{1} = 2$ 、 $b_{n} = 2^{n}$ である。

$2^{n}$ を $3$ で割った余りを調べる。 $n$ が奇数のとき $2^{n} \equiv 2 (mod 3)$ で、 $n$ が偶数のとき $2^{n} \equiv 1 (mod 3)$ である。

$n$ が奇数のとき、 $2^{n}$ は $3$ で割って $2$ 余る正の整数なので、ある正の整数 $k$ により $2^{n} = 3 k - 1$ と書ける（ $2^{n} \geq 2$ より $k \geq 1$ ）。よって $2^{n}$ は ${a_{n}}$ の項である。

$n$ が偶数のとき、 $2^{n}$ は $3$ で割って $1$ 余るので、 ${a_{n}}$ の項ではない。

ゆえに、 $b_{1}, \dots, b_{2 m}$ のうち ${a_{n}}$ の項でないものは $b_{2}, b_{4}, \dots, b_{2 m}$ であり、その和は
$4 + 4^{2} + \dots + 4^{m} = \frac{4 ( 4 ^{m} - 1 )}{4 - 1} = \frac{4 ( 4 ^{m} - 1 )}{3}$

検算: $m = 1$ のとき、 $b_{1} = 2, b_{2} = 4$ のうち $4$ だけが ${a_{n}}$ の項でないので和は $4$ である。公式に代入すると $\frac{4 \cdot 3}{3} = 4$ となり一致する。
$m = 2$ のとき、 $b_{1}, \dots, b_{4} = 2, 4, 8, 16$ のうち ${a_{n}}$ の項でないのは $4$ と $16$ で、和は $20$ である。公式に代入すると $\frac{4 \cdot 15}{3} = 20$ となり一致する。

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