数列の問題

**$b_n$ を求める。**

$b_1=a_2-a_1=4-3=1$ である。

$\{b_n\}$ の階差数列は初項 $2$、公比 $2$ の等比数列なので、
$$b_{n+1}-b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$$
である。$n\ge 2$ のとき、
$$b_n=b_1+\sum _{k=1}^{n-1}{2}^k=1+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}=1+2^n-2=2^n-1$$
となる。$n=1$ のとき $2^1-1=1=b_1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立つ。よって $b_n=2^n-1$ $(n\ge 1)$ である。

**$a_n$ を求める。**

$n\ge 2$ のとき、
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=3+\sum _{k=1}^{n-1}(2^k-1)$$
である。ここで
$$\sum _{k=1}^{n-1}{2}^k=\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}=2^n-2,\sum _{k=1}^{n-1}1=n-1$$
なので、
$$a_n=3+(2^n-2)-(n-1)=2^n-n+2$$
となる。$n=1$ のとき $2^1-1+2=3=a_1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立つ。

（確認）$a_2=4-2+2=4$, $a_3=8-3+2=7$, $a_4=16-4+2=14$ となり、差は $1,3,7$、その差は $2,4$ で条件に合う。

したがって $a_n=2^n-n+2$ である。

$b_1=a_2-a_1=1$。$b_{n+1}-b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$ より、$n\ge 2$ のとき $b_n=b_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{2}^k=1+(2^n-2)=2^n-1$。これは $n=1$ でも $b_1=1$ で成り立つ。

よって $n\ge 2$ のとき $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2^k-1)=3+(2^n-2)-(n-1)=2^n-n+2$。

$n=1$ では $2-1+2=3=a_1$ となり成り立つ。

検算：$a_2=4-2+2=4$、$a_3=8-3+2=7$。$b_1=1$、$b_2=3$、$b_3=7-4=3$ ではなく、$b_2=a_3-a_2=7-4=3$。$b_2-b_1=2$ で正しい。$a_4=16-4+2=14$、$b_3=14-7=7$、$b_3-b_2=4$ で正しい。

答え：$a_n=2^n-n+2$