数列の問題

$a_1=1,a_2=2,a_3=5,a_4=12,a_5=27$ であるから、階差数列 $\{b_n\}$ は
$$b_1=1,b_2=3,b_3=7,b_4=15$$
となる。さらにその階差数列 $\{c_n\}$ は
$$c_1=2,c_2=4,c_3=8$$
である。$\{c_n\}$ は等比数列なので、初項 $2$、公比 $\frac{4}{2}=2$ であり、
$$c_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$$

**$b_n$ を求める。** $n\geqq 2$ のとき
$$b_n=b_1+\sum _{k=1}^{n-1}{c}_k=1+\sum _{k=1}^{n-1}{2}^k=1+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}=2^n-1$$
これは $n=1$ のとき $2^1-1=1=b_1$ となり成り立つ。よって $b_n=2^n-1$ $(n\geqq 1)$。

**$a_n$ を求める。** $n\geqq 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=1+\sum _{k=1}^{n-1}(2^k-1)=1+(2^n-2)-(n-1)=2^n-n$$
これは $n=1$ のとき $2^1-1=1=a_1$ となり成り立つ。

（確認：$a_3=8-3=5$, $a_4=16-4=12$, $a_5=32-5=27$ で与えられた値と一致する。）

したがって $a_n=2^n-n$ である。

$a_n$ の階差 $b_n$ は $1,3,7,15,\dots$ で、その階差 $c_n$ は $2,4,8,\dots$ となる。$c_n$ は等比数列なので、初項 $2$、公比 $2$ より $c_n=2^n$。

$b_n=b_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{2}^k=1+(2^n-2)=2^n-1$。これは $b_1=1,b_2=3,b_3=7,b_4=15$ と合う。

$n\ge 2$ のとき、$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2^k-1)=1+(2^n-2)-(n-1)=2^n-n$。

$n=1$ のとき $2^1-1=1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立つ。

検算: $n=1,2,3,4,5$ で $2-1=1,4-2=2,8-3=5,16-4=12,32-5=27$。与えられた数列と一致する。

よって $a_n=2^n-n$。