数列の問題

初項を求める。
$n=1$ のとき $S_1=a_1$ なので、$a_1=3a_1-2$ となる。よって $a_1=1$ である。

漸化式を作る。
与えられた式の $n$ を $n+1$ に置き換えると
$$S_{n+1}=3a_{n+1}-2(n+1)$$
となる。この式から $S_n=3a_n-2n$ を辺々引く。$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ であるから
$$a_{n+1}=3a_{n+1}-3a_n-2$$
となる。整理すると $2a_{n+1}=3a_n+2$、すなわち
$$a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n+1(n=1,2,3,\dots )$$
が得られる。

特性方程式で変形する。
$\alpha =\frac{3}{2}\alpha +1$ を解くと $\alpha =-2$ である。よって漸化式は
$$a_{n+1}+2=\frac{3}{2}(a_n+2)$$
と変形できる。したがって数列 $\{a_n+2\}$ は、初項 $a_1+2=3$、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列である。

一般項を求める。
$$a_n+2=3{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}=2{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$$
であるから
$$a_n=2{\left(\frac{3}{2}\right)}^n-2$$
となる。

確認する。
- $n=1$ のとき $2\cdot \frac{3}{2}-2=1$ となり、$a_1=1$ と一致する。
- $n=2$ のとき、式からは $a_2=2\cdot \frac{9}{4}-2=\frac{5}{2}$ となる。一方、条件 $S_2=3a_2-4$ に $S_2=1+a_2$ を代入すると $1+a_2=3a_2-4$ より $a_2=\frac{5}{2}$ となり、一致する。

n=1 のとき $S_1=a_1=3a_1-2$ より $a_1=1$。
$n\ge 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}=3a_n-2n-3a_{n-1}+2(n-1)=3a_n-3a_{n-1}-2$。よって $2a_n=3a_{n-1}+2$、すなわち $a_n=\frac{3}{2}{a}_{n-1}+1$。
特性方程式 $\alpha =\frac{3}{2}\alpha +1$ より $\alpha =-2$。よって $a_n+2=\frac{3}{2}(a_{n-1}+2)$。
$a_1+2=3$ なので $a_n+2=3{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$、すなわち $a_n=3{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}-2$。
検算: $a_2=3\cdot \frac{3}{2}-2=\frac{5}{2}$。$S_2=1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$。$3a_2-4=\frac{15}{2}-4=\frac{7}{2}$ で一致。$a_3=3\cdot \frac{9}{4}-2=\frac{19}{4}$、$S_3=\frac{7}{2}+\frac{19}{4}=\frac{33}{4}$、$3a_3-6=\frac{57}{4}-6=\frac{33}{4}$ で一致。