数列の問題

一般項を求める。

漸化式の右辺に $n$ の 1 次式があるので、定数 $\alpha ,\beta$ を用いて
$$a_{n+1}-\{\alpha (n+1)+\beta \}=3\{a_n-(\alpha n+\beta )\}$$
の形に変形できるように $\alpha ,\beta$ を定める。右辺を展開して整理すると
$$a_{n+1}=3a_n-3\alpha n-3\beta +\alpha n+\alpha +\beta =3a_n-2\alpha n+(\alpha -2\beta )$$
となる。これが $a_{n+1}=3a_n-4n+2$ と一致すればよいので、係数を比べて
$$-2\alpha =-4,\alpha -2\beta =2$$
より $\alpha =2,\beta =0$ である。したがって
$$a_{n+1}-2(n+1)=3(a_n-2n)$$
が成り立つ。

$b_n=a_n-2n$ とおくと $b_{n+1}=3b_n$ であり、$b_1=a_1-2=3-2=1$ である。よって $\{b_n\}$ は初項 $1$、公比 $3$ の等比数列なので
$$b_n=3^{n-1}$$
となる。したがって
$$a_n=3^{n-1}+2n$$
である。

確認すると、$a_1=1+2=3$ である。また漸化式から $a_2=3\cdot 3-4+2=7$、$a_3=3\cdot 7-8+2=15$ であり、式からも $a_2=3+4=7$、$a_3=9+6=15$ となって一致する。

和を求める。

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n{3}^{k-1}+2\sum _{k=1}^{n}k$$
である。それぞれ計算すると
$$\sum _{k=1}^n{3}^{k-1}=\frac{3^n-1}{3-1}=\frac{3^n-1}{2},2\sum _{k=1}^{n}k=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$$
となる。よって
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\frac{3^n-1}{2}+n(n+1)$$
である。

確認すると、$n=1$ のとき $1+2=3=a_1$、$n=2$ のとき $4+6=10=a_1+a_2$ となり正しい。

$a_{n+1}=3a_n-4n+2$ の特殊解を $a_n=pn+q$ とおくと、$p(n+1)+q=3(pn+q)-4n+2$ より $p=3p-4$ から $p=2$、$p+q=3q+2$ から $q=0$。よって特殊解は $2n$。

$b_n=a_n-2n$ とおくと $b_{n+1}=a_{n+1}-2(n+1)=3a_n-4n+2-2n-2=3(a_n-2n)=3b_n$。$b_1=a_1-2=1$ なので $b_n=3^{n-1}$。したがって $a_n=2n+3^{n-1}$。

検算：$a_2=3\cdot 3-4+2=7$、公式では $4+3=7$。$a_3=3\cdot 7-8+2=15$、公式では $6+9=15$。

和は
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{3^n-1}{2}=n(n+1)+\frac{3^n-1}{2}.$$
検算：$n=2$ のとき $a_1+a_2=3+7=10$、公式では $6+4=10$。