数列の問題

$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、
$$b_n=a_{n+1}-a_n=2^n-4n$$
である。

一般項を求める。 $n\geqq 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(2^k-4k)=3+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-4\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2^n-2n^2+2n+1$$
となる。$n=1$ のとき $2-2+2+1=3=a_1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立つ。よって
$$a_n=2^n-2n^2+2n+1(n=1,2,3,\dots )$$

増減を調べる。 $b_n$ の値を順に求めると
$$b_1=2-4=-2,b_2=4-8=-4,b_3=8-12=-4,b_4=16-16=0,b_5=32-20=12$$
である。

さらに $n\geqq 5$ のとき $2^n>4n$ であることを数学的帰納法で示す。$n=5$ のときは $32>20$ で成り立つ。$n=k(k\geqq 5)$ で $2^k>4k$ が成り立つとすると、
$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>8k=4k+4k\geqq 4k+4=4(k+1)$$
となり、$n=k+1$ でも成り立つ。よって $n\geqq 5$ のとき $b_n>0$ である。

したがって
$$a_1>a_2>a_3>a_4=a_5<a_6<a_7<\cdots$$
となり、$a_n$ は $n=4,5$ のとき最小となる。

最小値を求める。
$$a_4=2^4-2\cdot 16+2\cdot 4+1=16-32+8+1=-7$$
(確認: $a_5=32-50+10+1=-7$。また $a_2=3-2=1$, $a_3=1-4=-3$, $a_4=-3-4=-7$ とも一致する。)

よって、最小値は $-7$ である。

$a_{n+1}-a_n=2^n-4n$ より、$n\ge 2$ のとき
$a_n=3+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2^k-4k)=3+(2^n-2)-2n(n-1)=2^n-2n^2+2n+1$。
これは $n=1$ でも $a_1=3$ となり成り立つ。

階差 $d_n=2^n-4n$ の符号を調べる。
$d_1=-2$, $d_2=-4$, $d_3=-4$, $d_4=0$, $d_5=12$。
$n\ge 5$ では $d_{n+1}-d_n=2^n-4>0$ なので $d_n$ は増加し、$d_n>0$ である。
よって $a_1>a_2>a_3>a_4=a_5<a_6<\cdots$ となる。

最小値は $a_4=a_5$ で、$a_4=16-32+8+1=-7$。
検算：$a_2=1$, $a_3=-3$, $a_4=-3+8-12=-7$, $a_5=-7+16-16=-7$, $a_6=-7+32-20=5$。

最小値は $-7$。