数列の問題

$b_n=a_{n+1}-a_n$ $(n=1,2,3,\dots )$ とおくと、$\{b_n\}$ は $\{a_n\}$ の階差数列である。

与えられた漸化式は
$$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=b_{n+1}-b_n$$
と変形できるので、
$$b_{n+1}-b_n=2^n,b_1=a_2-a_1=3-2=1$$
である。つまり $\{b_n\}$ の階差数列は $\{2^n\}$ である。

**$b_n$ を求める。** $n\geqq 2$ のとき
$$b_n=b_1+\sum _{k=1}^{n-1}{2}^k=1+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}=1+2^n-2=2^n-1$$
となる。この式に $n=1$ を代入すると $2^1-1=1=b_1$ となるので、$n=1$ のときも成り立つ。よって $b_n=2^n-1$ $(n=1,2,3,\dots )$ である。

**$a_n$ を求める。** $n\geqq 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=2+\sum _{k=1}^{n-1}(2^k-1)=2+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-(n-1)$$
$$=2+2^n-2-n+1=2^n-n+1$$
となる。この式に $n=1$ を代入すると $2-1+1=2=a_1$ となるので、$n=1$ のときも成り立つ。

確認。 $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=6$, $a_4=13$ である。
- $n=1$ のとき $a_3-2a_2+a_1=6-6+2=2=2^1$
- $n=2$ のとき $a_4-2a_3+a_2=13-12+3=4=2^2$

となり、漸化式を満たしている。

したがって
$$a_n=2^n-n+1$$

階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと、$b_{n+1}-b_n=2^n$ であり、$b_1=a_2-a_1=1$。
$n\ge 2$ のとき $b_n=b_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{2}^k=1+(2^n-2)=2^n-1$。$n=1$ のとき $2^1-1=1$ で成り立つので、$b_n=2^n-1$ ($n\ge 1$)。
$n\ge 2$ のとき $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2^k-1)=2+(2^n-2)-(n-1)=2^n-n+1$。
$n=1$ のとき $2-1+1=2$ で成り立つ。
検算: $a_2=4-2+1=3$、$a_3=8-3+1=6$。漸化式で $n=1$: $a_3-2a_2+a_1=6-6+2=2=2^1$。成り立つ。$a_4=16-4+1=13$。$n=2$: $13-12+3=4=2^2$。成り立つ。