数列の問題

**定数項 $-1$ を消す。** 定数 $\alpha$ を $\alpha =2\alpha -1$ を満たすように選ぶと $\alpha =1$ である。$c_n=a_n-1$ とおく。$a_n=c_n+1$ を漸化式に代入すると
$$c_{n+1}+1=2(c_n+1)+n\cdot 2^{n+1}-1$$
となる。整理すると
$$c_{n+1}=2c_n+n\cdot 2^{n+1}$$
であり、$c_1=a_1-1=1$ である。

**両辺を $2^{n+1}$ で割る。**
$$\frac{c_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{c_n}{2^n}+n$$
$b_n=\frac{c_n}{2^n}$ とおくと、
$$b_{n+1}-b_n=n,b_1=\frac{c_1}{2}=\frac{1}{2}$$
となる。数列 $\{b_n\}$ の階差数列は $n$ である。

**$b_n$ を求める。** $n\ge 2$ のとき
$$b_n=b_1+\sum _{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n+1}{2}$$
である。この式に $n=1$ を代入すると $\frac{1}{2}$ となり、$b_1$ と一致する。よって、すべての正の整数 $n$ で $b_n=\frac{n^2-n+1}{2}$ が成り立つ。

**$a_n$ に戻す。**
$$c_n=2^n{b}_n=2^{n-1}(n^2-n+1)$$
より
$$a_n=c_n+1=2^{n-1}(n^2-n+1)+1$$
である。

検算。 漸化式から $a_2=2\cdot 2+1\cdot 4-1=7$、$a_3=2\cdot 7+2\cdot 8-1=29$ である。一方、公式からは $a_2=2\cdot 3+1=7$、$a_3=4\cdot 7+1=29$ となり、一致する。

両辺を $2^{n+1}$ で割り、$b_n=\frac{a_n}{2^n}$ とおくと、$b_{n+1}=b_n+n-\frac{1}{2^{n+1}}$、$b_1=1$。
$n\ge 2$ のとき $b_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}\left(k-\frac{1}{2^{k+1}}\right)$。
${\sum }_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2}$、${\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}$ なので
$b_n=\frac{1}{2}+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{1}{2^n}$。これは $n=1$ でも $b_1=1$ で成り立つ。
よって $a_n=2^n{b}_n=2^{n-1}(n^2-n+1)+1$。
検算：$a_1=2$、$a_2=2\cdot 3+1=7$（漸化式から $2\cdot 2+4-1=7$）、$a_3=4\cdot 7+1=29$（漸化式から $2\cdot 7+16-1=29$）。いずれも一致する。