数列の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学B 数列

$n$ を正の整数とする。和 $k = 1 \sum n k (k + 1)$ を $n$ の式で表せ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$k (k + 1)$ を展開して、 $\sum k^{2}$ と $\sum k$ に分けよう。

ヒント 2

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ , $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ を使う。

ヒント 3

$\frac{n ( n + 1 )}{6}$ でくくると $\frac{n ( n + 1 )}{6} {(2 n + 1) + 3}$ になる。

答えと解説

答えを見る

\frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}

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解説を読む

$k (k + 1) = k^{2} + k$ なので
$k = 1 \sum n k (k + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ( n + 1 )}{6} {(2 n + 1) + 3} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$

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