数列の問題

初項 $n=1$ を代入すると、$S_1=a_1$ より
$$a_1=2a_1-1\text{より}{a}_1=1.$$

漸化式を作る $S_{n+1}=2a_{n+1}-(n+1{)}^2$ と $S_n=2a_n-n^2$ の差をとる。$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ であるから
$$a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n-\{(n+1{)}^2-n^2\}=2a_{n+1}-2a_n-(2n+1).$$
よって
$$a_{n+1}=2a_n+2n+1(n=1,2,3,\dots ).$$

等比数列に帰着させる 定数 $p,q$ を、
$$a_{n+1}+p(n+1)+q=2(a_n+pn+q)$$
が上の漸化式と一致するように定める。右辺を展開して整理すると
$$a_{n+1}=2a_n+pn+(q-p)$$
となるので、$p=2$、$q-p=1$ すなわち $q=3$ とすればよい。

したがって $b_n=a_n+2n+3$ とおくと $b_{n+1}=2b_n$ である。また $b_1=a_1+2+3=6$ であるから
$$b_n=6\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^n.$$
よって
$$a_n=3\cdot 2^n-2n-3.$$

**$S_n$ を求める** 与えられた関係式に代入すると
$$S_n=2a_n-n^2=2(3\cdot 2^n-2n-3)-n^2=3\cdot 2^{n+1}-n^2-4n-6.$$

確認 $a_1=1$、$a_2=2\cdot 1+3=5$、$a_3=2\cdot 5+5=15$ より、$S_1=1$、$S_2=6$、$S_3=21$ である。一方、求めた式からは
- $n=1$: $12-1-4-6=1$
- $n=2$: $24-4-8-6=6$
- $n=3$: $48-9-12-6=21$

となり、すべて一致する。

答え: $S_n=3\cdot 2^{n+1}-n^2-4n-6$

$n=1$ のとき $S_1=a_1=2a_1-1$ より $a_1=1$。$n\ge 2$ では $a_n=S_n-S_{n-1}$ を $S_n=2a_n-n^2$ に代入して $S_n=2(S_n-S_{n-1})-n^2$、すなわち $S_n=2S_{n-1}+n^2$。
特殊解を $S_n=A{n}^2+Bn+C$ とおくと、$A{n}^2+Bn+C=2A(n-1{)}^2+2B(n-1)+2C+n^2$。係数を比べて $A=2A+1$、$B=-4A+2B$、$C=2A-2B+2C$。これより $A=-1$、$B=-4$、$C=-6$。
よって $S_n+n^2+4n+6=2\{S_{n-1}+(n-1{)}^2+4(n-1)+6\}$ となり、数列 $\{S_n+n^2+4n+6\}$ は公比 2 の等比数列。初項は $S_1+1+4+6=12$。
ゆえに $S_n+n^2+4n+6=12\cdot 2^{n-1}=6\cdot 2^n$ で、$S_n=6\cdot 2^n-n^2-4n-6$。
検算：$S_1=12-1-4-6=1$。$S_2=24-4-8-6=6$ より $a_2=5$ で、$2a_2-4=6=S_2$ となり成り立つ。