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数列の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学B 数列

正の整数 $k$ に対して、 $2^{m} ≦ k < 2^{m + 1}$ を満たす $0$ 以上の整数 $m$ を $f (k)$ と表す。例えば $f (1) = 0$ , $f (5) = 2$ , $f (8) = 3$ である。 $n$ を正の整数とするとき、和
$S_{n} = k = 1 \sum 2^{n} k f (k)$
を $n$ の式で表せ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$f (k)$ の値が同じになる $k$ をひとまとめにして、 $m$ についての和に書き直しましょう。最後の項 $k = 2^{n}$ だけは別扱いになることに注意。

ヒント 2

$f (k) = m$ となる $k$ は $2^{m} ≦ k ≦ 2^{m + 1} - 1$ で、その和は等差数列の和 $\frac{3 \cdot 4 ^{m} - 2 ^{m}}{2}$ です。すると $\sum m \cdot 4^{m}$ と $\sum m \cdot 2^{m}$ （等差×等比型の和）が必要になります。

ヒント 3

$S_{n} = \frac{3}{2} \sum_{m = 0}^{n - 1} m \cdot 4^{m} - \frac{1}{2} \sum_{m = 0}^{n - 1} m \cdot 2^{m} + n \cdot 2^{n}$ であり、 $T - 4 T$ の計算から $\sum_{m = 0}^{n - 1} m \cdot 4^{m} = \frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n} + 4}{9}$ 、同様に $\sum_{m = 0}^{n - 1} m \cdot 2^{m} = (n - 2) 2^{n} + 2$ が得られます。あとは代入して整理しましょう。

答えと解説

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\frac{( 3 n - 4 ) \cdot 2 ^{2 n - 1} + 3 ( n + 2 ) \cdot 2 ^{n - 1} - 1}{3}

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解説を読む

方針 $f (k)$ の値が等しい $k$ をまとめて和を計算する。

$f (k) = m$ となるのは $2^{m} ≦ k ≦ 2^{m + 1} - 1$ のときである。 $1 ≦ k ≦ 2^{n} - 1$ の範囲では $m = 0, 1, \dots, n - 1$ であり、最後の $k = 2^{n}$ では $f (2^{n}) = n$ である。よって
$S_{n} = m = 0 \sum n - 1 m k = 2^{m} \sum 2^{m + 1} - 1 k + n \cdot 2^{n} .$

内側の和 $k = 2^{m}, \dots, 2^{m + 1} - 1$ は項数 $2^{m}$ の等差数列なので
$k = 2^{m} \sum 2^{m + 1} - 1 k = \frac{2 ^{m} { 2 ^{m} + ( 2 ^{m + 1} - 1 )}}{2} = \frac{3 \cdot 4 ^{m} - 2 ^{m}}{2} .$
したがって
$S_{n} = \frac{3}{2} m = 0 \sum n - 1 m \cdot 4^{m} - \frac{1}{2} m = 0 \sum n - 1 m \cdot 2^{m} + n \cdot 2^{n} .$

** $T = \sum_{m = 0}^{n - 1} m \cdot 4^{m}$ の計算**
$T = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^{2} + \dots + (n - 1) 4^{n - 1}$
$4 T = 1 \cdot 4^{2} + \dots + (n - 2) 4^{n - 1} + (n - 1) 4^{n}$
辺々引くと
$- 3 T = 4 + 4^{2} + \dots + 4^{n - 1} - (n - 1) 4^{n} = \frac{4 ^{n} - 4}{3} - (n - 1) 4^{n} .$
よって $9 T = - (4^{n} - 4) + 3 (n - 1) 4^{n} = (3 n - 4) 4^{n} + 4$ より
$T = \frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n} + 4}{9} .$
( $n = 1$ のとき $T = 0$ となり、成り立つ。)

** $U = \sum_{m = 0}^{n - 1} m \cdot 2^{m}$ の計算** 同様に $U - 2 U = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1} - (n - 1) 2^{n} = 2^{n} - 2 - (n - 1) 2^{n}$ より
$U = (n - 2) 2^{n} + 2.$

まとめ
$S_{n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n} + 4}{9} - \frac{( n - 2 ) 2 ^{n} + 2}{2} + n \cdot 2^{n}$
$= \frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n}}{6} + \frac{2}{3} - (n - 2) 2^{n - 1} - 1 + n \cdot 2^{n} .$
ここで $- (n - 2) 2^{n - 1} + n \cdot 2^{n} = 2^{n - 1} (- n + 2 + 2 n) = (n + 2) 2^{n - 1}$ 、また $\frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n}}{6} = \frac{( 3 n - 4 ) 2 ^{2 n - 1}}{3}$ 、 $\frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3}$ だから
$S_{n} = \frac{( 3 n - 4 ) \cdot 2 ^{2 n - 1} + 3 ( n + 2 ) \cdot 2 ^{n - 1} - 1}{3} .$

検算 $n = 1$ : 直接計算すると $1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$ 、式は $\frac{( - 1 ) \cdot 2 + 3 \cdot 3 \cdot 1 - 1}{3} = \frac{- 2 + 9 - 1}{3} = 2$ 。 $n = 2$ : 直接計算すると $0 + 2 + 3 + 4 \cdot 2 = 13$ 、式は $\frac{2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 \cdot 2 - 1}{3} = \frac{16 + 24 - 1}{3} = 13$ 。 $n = 3$ : 直接計算すると $0 + 2 + 3 + 2 (4 + 5 + 6 + 7) + 8 \cdot 3 = 73$ 、式は $\frac{5 \cdot 32 + 3 \cdot 5 \cdot 4 - 1}{3} = \frac{160 + 60 - 1}{3} = 73$ 。いずれも一致する。

別解

$k = 2^{n}$ のとき $f (k) = n$ 、 $1 \leq k \leq 2^{n} - 1$ では $2^{m} \leq k < 2^{m + 1}$ ( $m = 0, \dots, n - 1$ ) のとき $f (k) = m$ である。

$m$ を固定すると、 $k = 2^{m}, \dots, 2^{m + 1} - 1$ の和は項数 $2^{m}$ 、平均 $\frac{3 \cdot 2 ^{m} - 1}{2}$ より $\frac{3 \cdot 4 ^{m} - 2 ^{m}}{2}$ 。よって
$S_{n} = n 2^{n} + \frac{1}{2} m = 0 \sum n - 1 m (3 \cdot 4^{m} - 2^{m}) .$

等比×等差の和の公式より
$\sum_{m = 0}^{n - 1} m 2^{m} = (n - 2) 2^{n} + 2$ 、
$\sum_{m = 0}^{n - 1} m 4^{m} = \frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n} + 4}{9}$ 。

これを代入すると
$S_{n} = n 2^{n} + \frac{1}{2} [\frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n} + 4}{3} - (n - 2) 2^{n} - 2] = \frac{( 3 n - 4 ) 4 ^{n}}{6} + (n + 2) 2^{n - 1} - \frac{1}{3} .$

検算： $n = 1$ のとき $S_{1} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$ 。公式では $- \frac{2}{3} + 3 - \frac{1}{3} = 2$ 。 $n = 2$ のとき $S_{2} = 0 + 2 + 3 + 4 \cdot 2 = 13$ 。公式では $\frac{32}{6} + 8 - \frac{1}{3} = 13$ 。いずれも一致する。

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