数列の問題

値が等しい項をまとめる

正の整数 $m$ に対して、$[\sqrt{k}]=m$ となるのは
$$m\le \sqrt{k}<m+1⟺m^2\le k<(m+1{)}^2=m^2+2m+1$$
のときである。このような正の整数 $k$ は $k=m^2,m^2+1,\dots ,m^2+2m$ の $2m+1$ 個ある。

和をとる範囲は $1\le k\le n(n+1)=n^2+n$ である。

• $m=1,2,\dots ,n-1$ のとき、$m^2\le k\le m^2+2m$ はすべて範囲に含まれる。$m^2+2m\le (n-1{)}^2+2(n-1)=n^2-1$ だからである。各 $m$ について値 $m$ が $2m+1$ 回現れるので、寄与は $m(2m+1)$ である。
• $m=n$ のとき、範囲に含まれるのは $k=n^2,n^2+1,\dots ,n^2+n$ の $n+1$ 個である。$n^2+n<n^2+2n$ なので、この群は途中で打ち切られる。寄与は $n(n+1)$ である。

したがって
$$\sum _{k=1}^{n(n+1)}[\sqrt{k}]=\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)+n(n+1).$$

和の計算

$$\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)=2\sum _{m=1}^{n-1}{m}^2+\sum _{m=1}^{n-1}m.$$

公式を使うと
$$2\sum _{m=1}^{n-1}{m}^2=2\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{(n-1)n(2n-1)}{3},\sum _{m=1}^{n-1}m=\frac{(n-1)n}{2}.$$

よって
$$\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)=\frac{(n-1)n\{2(2n-1)+3\}}{6}=\frac{(n-1)n(4n+1)}{6}.$$

この式は $n=1$ のときも $0$ となり、空の和と一致する。

これに $n(n+1)$ を加えると
$$\frac{(n-1)n(4n+1)}{6}+n(n+1)=\frac{n\{(n-1)(4n+1)+6(n+1)\}}{6}.$$

中括弧の中を展開すると
$$4n^2-3n-1+6n+6=4n^2+3n+5.$$

ゆえに
$$\sum _{k=1}^{n(n+1)}[\sqrt{k}]=\frac{n(4n^2+3n+5)}{6}.$$

検算

• $n=1$ のとき、$k=1,2$ で $1+1=2$ となる。公式では $\frac{1\cdot 12}{6}=2$ で一致する。
• $n=2$ のとき、$k=1,\dots ,6$ で $1+1+1+2+2+2=9$ となる。公式では $\frac{2\cdot 27}{6}=9$ で一致する。

$m=1,2,\dots ,n-1$ について、$m^2\le k\le (m+1{)}^2-1$ のとき $[\sqrt{k}]=m$ であり、この範囲の $k$ は $2m+1$ 個ある。また $k=n^2,\dots ,n^2+n$ では $[\sqrt{k}]=n$ で、$k$ は $n+1$ 個ある。ここで $n^2+n<(n+1{)}^2$ なので、この範囲で値は変わらない。

求める和は
$$S=\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)+n(n+1).$$

第1項は
$$\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)=2\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}.$$

よって
$$S=\frac{n(n-1)(4n+1)+6n(n+1)}{6}=\frac{n(4n^2-3n-1+6n+6)}{6}=\frac{n(4n^2+3n+5)}{6}.$$

検算：$n=1$ のとき $k=1,2$ で和は $1+1=2$。式に代入すると $\frac{1\cdot 12}{6}=2$ で一致する。$n=2$ のとき $k=1,\dots ,6$ で和は $1+1+1+2+2+2=9$。式に代入すると $\frac{2\cdot 27}{6}=9$ で一致する。