数列の問題

**$\{a_n\}$ の一般項**

公差を $d(d\ne 0)$ とすると、$a_3=3+2d$、$a_9=3+8d$ である。$a_1,a_3,a_9$ がこの順に等比数列をなすので
$$a_3^2=a_1{a}_9$$
が成り立つ。よって
$$(3+2d{)}^2=3(3+8d)$$
$$9+12d+4d^2=9+24d$$
$$4d^2-12d=0$$
$$4d(d-3)=0$$
となる。$d\ne 0$ より $d=3$ である。したがって $a_n=3+3(n-1)=3n$ となる。

**$\{b_n\}$ の一般項**

$b_1=a_1=3$、$b_2=a_3=9$ より、公比は $\frac{9}{3}=3$ である。よって $b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n$ となる。

和の計算

$a_k{b}_k=3k\cdot 3^k$ であるから、$S_n=\sum _{k=1}^{n}k\cdot 3^k$ とおくと $T_n=3S_n$ である。
$$S_n=1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots +n\cdot 3^n$$
$$3S_n=1\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\cdots +(n-1)\cdot 3^n+n\cdot 3^{n+1}$$
辺々引くと
$$S_n-3S_n=3+3^2+3^3+\cdots +3^n-n\cdot 3^{n+1}$$
となる。右辺の等比数列の和は
$$3+3^2+\cdots +3^n=\frac{3(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}$$
であるから
$$-2S_n=\frac{3^{n+1}-3}{2}-n\cdot 3^{n+1}$$
となる。両辺に $-\frac{1}{2}$ を掛けて
$$S_n=\frac{n\cdot 3^{n+1}}{2}-\frac{3^{n+1}-3}{4}=\frac{(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3}{4}$$
を得る。よって
$$T_n=3S_n=\frac{(2n-1)\cdot 3^{n+2}+9}{4}$$
である。

検算

$n=1$ のとき、$T_1=a_1{b}_1=3\cdot 3=9$ であり、公式の値は $\frac{1\cdot 27+9}{4}=9$ で一致する。

$n=2$ のとき、$T_2=9+6\cdot 9=63$ であり、公式の値は $\frac{3\cdot 81+9}{4}=63$ で一致する。

答えは $T_n=\frac{(2n-1)\cdot 3^{n+2}+9}{4}$ である。

公差を $d$ とすると $a_n=3+(n-1)d$。$a_1,a_3,a_9$ が等比数列なので $a_3^2=a_1{a}_9$ より $(3+2d{)}^2=3(3+8d)$。展開して $4d^2-12d=0$、$d\ne 0$ より $d=3$。よって $a_n=3n$。
$a_1=3,a_3=9$ なので $\{b_n\}$ は初項 $3$、公比 $3$ で、$b_n=3^n$。
したがって $T_n={\sum }_{k=1}^{n}3k\cdot 3^k$。
$S={\sum }_{k=1}^{n}k{3}^k$ とおくと $S=3+2\cdot 3^2+\cdots +n{3}^n$、$3S=3^2+2\cdot 3^3+\cdots +n{3}^{n+1}$。
辺々引いて $-2S=3+3^2+\cdots +3^n-n{3}^{n+1}=\frac{3(3^n-1)}{2}-n{3}^{n+1}$。
よって $S=\frac{3}{4}\left((2n-1)3^n+1\right)$。
$T_n=3S=\frac{9}{4}\left((2n-1)3^n+1\right)$。
検算：$n=1$ で $T_1=3\cdot 3=9$、式は $\frac{9}{4}\cdot 4=9$。$n=2$ で $T_2=9+6\cdot 9=63$、式は $\frac{9}{4}(27+1)=63$。一致。