数列の問題

一般項の推定

漸化式に $n=1,2$ を代入して最初のいくつかの項を計算する。
$$a_2=a_1^2-2\cdot 1\cdot a_1+2=9-6+2=5,$$
$$a_3=a_2^2-2\cdot 2\cdot a_2+2=25-20+2=7.$$
$a_1=3,a_2=5,a_3=7$ となるので、$a_n=2n+1$ と推定できる。

数学的帰納法による証明

$a_n=2n+1(n=1,2,3,\dots )$ $(1)$ を示す。

[1] $n=1$ のとき、$a_1=3=2\cdot 1+1$ であるから $(1)$ は成り立つ。

[2] $n=k$ のとき $(1)$ が成り立つ、すなわち $a_k=2k+1$ と仮定する。このとき
$$a_{k+1}=a_k^2-2k{a}_k+2=a_k(a_k-2k)+2=(2k+1)\{(2k+1)-2k\}+2=(2k+1)+2=2(k+1)+1$$
となり、$n=k+1$ のときも $(1)$ は成り立つ。

[1], [2] より、すべての正の整数 $n$ について $a_n=2n+1$ である。

和の計算

$a_k{a}_{k+1}=(2k+1)(2k+3)$ であり、
$$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)$$
と部分分数に分解できる。よって
$$S=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{20}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{41}-\frac{1}{43}\right)\right\}.$$
途中の項は打ち消し合うので
$$S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{43}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{43-3}{129}=\frac{1}{2}\cdot \frac{40}{129}=\frac{20}{129}.$$

答え: $\frac{20}{129}$

$a_1=3,a_2=5,a_3=7$ より $a_n=2n+1$ と推測する。数学的帰納法で示す。$a_n=2n+1$ と仮定すると、$a_{n+1}=(2n+1{)}^2-2n(2n+1)+2=(2n+1)(2n+1-2n)+2=2n+3=2(n+1)+1$ となり、$n+1$ でも成り立つ。$n=1$ では $a_1=3$ で成り立つ。よって $a_n=2n+1$。

したがって $\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)$。

$S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{43}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{40}{129}=\frac{20}{129}$。

検算：$k=1$ のみなら $\frac{1}{15}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$ で一致する。