数列の問題
数列 は、 を正の整数として、第 群が 個の項 をこの順に並べたものになるように、第 群から順に項を並べたものである。この数列において、 がはじめて現れるのは第何項か求めよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
第 群の第 項を と で表してください。そのうえで、 が第 群に含まれるための の条件を考えましょう。
ヒント 2
第 群の第 項は です。 となるためには、 が の約数で、しかも 、つまり であることが必要十分です。
ヒント 3
なので です。 の約数で 以上の最小のものは なので、 は第 群の第 項として初めて現れます。あとは第 群までの項の個数を数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
群の中身を整理する
第 群の第 項 は である。したがって、ある正の整数 が第 群に現れるのは、 を満たす整数 で となるものがあるときである。これは次の 2 つの条件と同値である。
- が の約数である
- 、すなわち
また、第 群の項 はすべて異なるので、 は 1 つの群の中に高々 1 回しか現れない。
** が現れる最初の群**
とする。群は番号の小さい順に並んでいるので、 を満たす の約数 のうち最小のものを求めればよい。
, であるから、 となるのは のときである。
であり、 の約数は
である。このうち 以上で最小のものは である（ は の約数ではない）。
よって、 がはじめて現れるのは第 群である。 であり、 だから、これは第 群の第 項である。
項の番号を求める
第 群から第 群までの項の個数は
である。したがって、第 群の第 項は、数列全体の
番目の項である。
よって、 がはじめて現れるのは **第 項** である。
別解
第 群の項は なので、 が第 群に現れる条件は、 となる整数 が の範囲に存在することである。つまり が の約数で、かつ である。
なので、約数は小さい順に である。
、 より、 が必要である。この条件を満たす最小の約数は である。
第 群では なので、 は第 群の 番目の項である。
第 群までの項数は である。
よって がはじめて現れるのは第 項である。
検算：第 群の初項は第 項で値は である。第 項は第 群の 番目で、値は となり一致する。また、 の群では約数が 以下しかなく なので、 はそれ以前の群には現れない。