数列の問題

**第 $100$ 項が何群にあるか調べる**

第 $m$ 群は $m$ 個の項を含むので、第 $1$ 群から第 $m$ 群までの項数は
$$1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$$
である。$m=13$ のとき $\frac{13\cdot 14}{2}=91$、$m=14$ のとき $\frac{14\cdot 15}{2}=105$ である。$91<100\leqq 105$ より、第 $100$ 項は第 $14$ 群の $100-91=9$ 番目の項である。

各群の和を求める

第 $m$ 群の項の和は、$1$ から $2m-1$ までの $m$ 個の奇数の和なので
$$1+3+\cdots +(2m-1)=\sum _{j=1}^m(2j-1)=2\cdot \frac{m(m+1)}{2}-m=m^2$$
である。

**第 $1$ 群から第 $13$ 群までの和**
$$\sum _{m=1}^{13}{m}^2=\frac{13\cdot 14\cdot 27}{6}=\frac{4914}{6}=819$$

**第 $14$ 群の初めの $9$ 項の和**

第 $14$ 群の初めの $9$ 項は $1,3,5,\dots ,17$ なので、その和は $9^2=81$ である。

まとめ
$$\sum _{k=1}^{100}{a}_k=819+81=900$$

第 $m$ 群は $1,3,\dots ,2m-1$ の $m$ 項で、その和は $m^2$ である。第 $13$ 群までの項数は $\frac{13\cdot 14}{2}=91$ 項、第 $14$ 群までだと $105$ 項になる。よって第 $100$ 項は第 $14$ 群の $100-91=9$ 番目の項である。

第 $13$ 群までの和は ${\sum }_{m=1}^{13}{m}^2=\frac{13\cdot 14\cdot 27}{6}=819$。
第 $14$ 群の最初の $9$ 項は $1,3,\dots ,17$ で、その和は $9^2=81$。

したがって ${\sum }_{k=1}^{100}{a}_k=819+81=900$。

検算：${\sum }_{m=1}^{13}{m}^2$ を直接足すと $1+4+9+16+25+36+49+64+81+100+121+144+169=819$ となり、一致する。