数列の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学B 数列

数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を満たす。 $a_{10}$ を求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$a_{n + 1} + α = 2 (a_{n} + α)$ の形に変形できる $α$ を探そう。

ヒント 2

$α = 3$ とすると、数列 ${a_{n} + 3}$ は等比数列になる。

ヒント 3

$a_{n} + 3 = 4 \cdot 2^{n - 1}$ なので、 $a_{n}$ の一般項が求まる。

答えと解説

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2045

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解説を読む

漸化式 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ は $a_{n + 1} + 3 = 2 (a_{n} + 3)$ と変形できる。
よって数列 ${a_{n} + 3}$ は初項 $a_{1} + 3 = 4$ 、公比 $2$ の等比数列なので $a_{n} + 3 = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}$ 。
したがって $a_{n} = 2^{n + 1} - 3$ であり、 $a_{10} = 2^{11} - 3 = 2048 - 3 = 2045$ 。

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